23.03.2020 Урок 3-4. Функціональна залежність між величинами. Функція. Область визначення та область значення функції

Функціональна залежність між величинами

1. Приклади реальних процесів, у яких досліджуються залежності між величинами.

2. Функціональна залежність між величинами. Незалежна величина. Залежна величина.

3. Функціональна залежність між величинами як математична модель реальних процесів.

Розглянемо приклад:

Нехай ціна 1 кг помідор становить 5 грн. Тоді вартість 2 кг помідор становить 2 · 5 =10 (грн.), вартість 3 кг помідор становить 3 · 5 =15 (грн.), вартість 4 кг помідор становить 4 · 5 =20 (грн.),  … вартість х кг помідор становить 5х (грн.). Якщо вартість х кг помідор ми позначимо через у, то отримаємо у = 5х . Ми одержали формулу, яка дає змогу знаходити значення у за відомим зна­ченням х, або, як кажуть, яка виражає залежність вартості від кількості помідор.

Зобразимо все вище сказане у вигляді схеми:

Кількість кілограмів помідор х та їх вартість у змінюються, тому х і у називають змінними. Наприклад, якщо х = 6, то у = 5·6 =30, якщо х = 8, то у = 5·8 = 40 і т. д.

Кожному значенню х відповідає тільки одне значення у. Такі залежності однієї змінної від другої називають функціональними залежностями, або функцією.

Оскільки значення у залежить від вибору значень х, то х на­зивають незалежною змінною, або аргументом, а у — залежною змінною, або функцією.

Для того щоб підкреслити, що у залежить від х, пишуть у(х) (читається: «у від х").

Наприклад, у(2) =10, у(3) =15, у(4) = 20, у(6) = 30, у(8) = 40.

Розглянемо деякі приклади.

Задача 1. Нехай х см — довжина сторони квадрата, а у см — його периметр.

Чи залежить периметр квадрата від його сторони?

Чи є периметр квадрата функцією від довжини його сторони?

Яка змінна в цій залежності є аргументом, а яка функцією?

Задайте цю залежність формулою.

Розв'язання

Периметр квадрата залежить від його сторони. Периметр квадрата є функцією від довжини його сторони, оскільки кожному значенню довжини сторони квадрата відповідає певне значення його периметра (у 4 рази більше за довжину його сторони). Довжина сторони в цій залежності є аргументом, а периметр - функцією. Дану залежність можна подати у вигляді формули

у= 4х.

Задача 2. Поїзд, рухаючись зі швидкістю 80 км/год., за х год. проходить у км.

Задайте формулою залежність у від х.

Чи є ця залежність функцією?

Знайдіть значення у, яке відповідає значенню х=3.

Яке значення х відповідає значенню у = 400 ?

Розв'язання

Залежність можна задати формулою у = 80х. Ця залежність є функцією, оскільки кожному значенню х відповідає тільки одне значення у.

Якщо х = 3, то у = 80 · 3 = 240.

Якщо у = 400, то 400 = 80 · х. Звідси х = 400:80 = 5.

Задача 3.  Іванко мав 150 грн. Він придбав х м'ячів по ціні 25 грн., позначивши ту суму грошей, що залишилася у Іванка, буквою у, задайте формулою залежність у від х.

Чи є ця залежність функцією?

Укажіть область визначення та область значень цієї функції.

Розв'язання

Залежність можна задати формулою у = 150 – 25х. Ця залежність є функцією, оскільки кожному значенню х відповідає тіль­ки одне значення у.

Область визначення — це множина чисел: 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6.

Область значень — це множина чисел: 0; 25; 50; 75; 100; 125;  150.

Розглянемо рисунок, на якому зображено графік зміни температури води протягом 20 хв.

Із графіка видно, що початкова температура води дорівнювала 20°С; протягом перших 8 хв температура води підвищилась до 100°С, потім протя­гом 6 хв (від 8 хв до 14 хв) температура води не змінювалась, а протягом на­ступних 6 хв температура води знизилась до 80°С.

Функція, графік якої зображено на рисунку 7, описує реальний процес зміни температури води. Кажуть, що ця функція моделює даний процес, або що вона є математичною моделлю даного процесу.

Якщо тіло рухається рівномірно зі швидкістю 15 м/с, то шлях 5 м, прой­дений ним за час t c, можна обчислити за формулою У цьому випадку функція, задана формулою є математичною моделлю рівномірного руху.

У сьомому та наступних класах ми ознайомимося з багатьма функціями, які можна використати для моделювання реальних процесів та залежностей між різними величинами.

Функція. Область визначення та область значень функції.

Завдання за підручником: § 21, №№ 857, 861

Домашнє завдання: § 21, №№ 859, 862

Успішного виконання завдань!